Topoloġija differenzjali hija t-topoloġija li tistudja manifolds differenzjali u mapep differenzjabbli. Bil-progress tat-topoloġija alġebrina u l-ġeometrija differenzjali, reġa 'ħareġ fis-snin tletin. H. Whitney ta definizzjoni ġenerali ta 'manifold differenzjali fl-1935 u wera li dejjem jista' jkun inkorporat fi spazju Ewklidej ta 'dimensjoni għolja. Sabiex jistudja l-kamp tal-vettur fuq il-manifold differenzjali, huwa ppropona wkoll il-kunċett ta 'qatet ta' fibra, sabiex bosta problemi ġeometriċi jkunu relatati ma 'problemi ta' omoloġija (klassi indikattiva) u omotopija.
Fl-1953, it-teorija tal-kollokazzjoni ta 'Rene Thom&# 39 ħolqot sitwazzjoni fejn topoloġija differenzjali u topoloġija alġebrina kienu qegħdin javvanzaw ħdejn xulxin. Ħafna problemi ta 'topoloġija differenzjali diffiċli ġew trasformati fi problemi ta' topoloġija alġebrina u solvuti, li wkoll stimulaw topoloġija alġebrina. Aktar żvilupp. Fl-1956, Milno skopra li minbarra l-istruttura differenzjali tas-soltu fuq l-isfera b'seba 'dimensjonijiet, kien hemm ukoll struttura differenzjali mhux tas-soltu. Sussegwentement, il-manifolds li ma jistgħux jiġu assenjati xi struttura differenzjali nbnew mill-bnedmin. Dawn kollha juru li t-tliet kategoriji ta 'manifolds topoloġiċi, manifolds differenzali, u manifolds lineari biċċiet bejniethom għandhom Differenza enormi, topoloġija differenzjali minn dakinhar ġiet rikonoxxuta bħala fergħa indipendenti tat-topoloġija. Fl-1960, Smail wera l-konġettura ta 'Poincaré għal manifolds differenzjali b'aktar minn ħames dimensjonijiet. JW Milno et al. żviluppa metodu bażiku biex jittratta l-manifolds differenzjali ─ ─ 剜 讓 擜, sabiex il-klassifikazzjoni tal-manifolds b'aktar minn ħames dimensjonijiet saret gradwalment alġebrin.
L-oqsma prominenti huma r-relazzjoni bejn it-tliet kategoriji ta 'hawn fuq ta' manifolds u l-klassifikazzjoni ta 'manifolds tridimensjonali u erba' dimensjonali. Il-kisbiet ewlenin fil-bidu tat-tmeninijiet inkludew il-prova tal-konġettura ta ’Poincaré erba’ dimensjonijiet u l-iskoperta ta ’l-istruttura differenzjali mhux tas-soltu fl-ispazju Ewklidej ta’ erba ’dimensjonijiet. Din it-tip ta 'riċerka ġeneralment tissejjaħ topoloġija ġeometrika sabiex tenfasizza l-kulur ġeometriku tagħha, li huwa differenti mit-teorija omotopika alġebrina.